De todos los números utilizados en ciencias como las matemáticas, al igual que en la ingeniería y la vida cotidiana, pocos despiertan tanto interés...
UN NÚMERO MUY ÚTIL Y ESCURRIDIZO
De todos los números utilizados en ciencias como las matemáticas, al igual que en la ingeniería y la vida cotidiana, pocos despiertan tanto interés como pi (). De hecho, hay quienes lo consideran uno de los cinco números más importantes en matemáticas. Pi representa la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Así, es posible determinar la medida de cualquier circunferencia, prescindiendo del tamaño que tenga, con tan sólo multiplicar su diámetro por pi.
Para muchas aplicaciones se consigue una precisión satisfactoria empleando 3,14159 como el valor aproximado de pi. Sin embargo, porque se trata de un número irracional, o sea, que no puede expresarse como fracción, es imposible llegar a una cifra absolutamente exacta. En su forma decimal no tiene fin, pues sus cifras son infinitas.
Se desconoce quién fue el primero en darse cuenta de que su valor permanece constante sin importar las dimensiones de la circunferencia. Se sabe, sin embargo, que desde la antigüedad se ha tratado de fijar con exactitud este escurridizo número. Los babilonios se aproximaron bastante, pues lo equipararon a 31/8 (3,125), y los egipcios, afinando un poco menos, a 3,16. En el siglo III antes de la Era Cristiana, el matemático griego Arquímedes realizó lo que pudiéramos llamar la primera tentativa científica de calcularlo y llegó a un número aproximado de 3,14.
En el año 200, se determinó que equivalía a 3,1416, cifra que luego corroboraron de forma independiente matemáticos de China y de la India a principios del siglo VI. En la actualidad, con la ayuda de potentes computadoras se ha conseguido escribirlo con miles de millones de decimales. Pero por útil que haya resultado este número, es difícil hallar aplicaciones informáticas que requieran más de veinte dígitos de pi.
Esta constante aparece en fórmulas que se emplean en muchos campos, como la física, la ingeniería eléctrica y electrónica, el cálculo de probabilidades, el diseño estructural y la navegación, por citar unos cuantos.
Así como son infinitos sus decimales, también parece inacabable la cantidad de aplicaciones prácticas para un número tan útil como escurridizo.
Proporcionalidad
El número pi define la razón de proporcionalidad entre el radio y el perímetro de una circunferencia.
El concepto de proporcionalidad implica reconocer que dos objetos diferentes tienen algo en común y es posible relacionarlos. Esta relación es tal, que si uno de los objetos se duplica, el otro también dobla su tamaño.
Este concepto no está completo si no asociamos a cada par de objetos proporcionales un número: el que nos indica cuantas veces cabe el segundo de ellos en el primero. Por ejemplo, el lado del cuadrado cabe cuatro veces exactas en su perímetro.
Este número se llama razón de proporcionalidad. No sólo el perímetro y el lado de un polígono regular son proporcionales, también lo son el perímetro y la mayor diagonal aunque con una razón de proporcionalidad diferente.
En el caso del círculo no podemos pensar en una proporcionalidad entre el perímetro y una cuerda de la mayor longitud posible; es decir un diámetro. Su razón de proporcionalidad es, precisamente .
Aproximación a
En la antigüedad, una forma sencilla de construir un círculo en terreno blando y plano consistía en tomar dos estacas y una cuerda con los extremos atados a éstas: se clavaba una de ellas y, al tensar la cuerda, se trazaba con la otra el círculo. Luego, tomando una cuerda de longitud igual al diámetro del círculo trazado, se podía observar que la cuerda cabía tres veces y algo más en el surco formado.
Dada la imprecisión, algunas culturas antiguas de Babilonia, India y China tomaron para pi el valor de 3. En la Biblia (tal vez por el año 950 a.C.) aparece implícitamente ese valor.
El valor de no es igual a 3 pero se puede tomar como una primera aproximación: así lo hizo, por ejemplo, Herón de Alejandría (creador de la fórmula para calcular el área de un triángulo cualquiera, a partir de sus lados) allá por el año 100.
También se puede concluir que pi está entre 3 1/8 y 3 1/7. El valor de 3 1/7 aparece registrado en Roma, por el año 97; en el 480, en China; en el 628, en la India; en 1503, en Italia; y, en 1876, en Inglaterra. En cuanto el valor de 3 1/8, basta decir que, en 1838, un excavador francés llamado LaComme, supo por un profesor de matemáticas que era imposible decir la cantidad de piedra requerida para pavimentar el fondo de un pozo, dado que se desconocía la razón exacta del diámetro de un círculo con respecto a su perímetro. LaComme trabajó arduamente en el problema y, sumamente orgulloso, anunció un hallazgo por el cual le fueron otorgadas varias medallas; según sus cálculos el valor exacto de la razón era 3 1/8.
Tentativa científica de Arquímedes
Arquímedes (240 a.C.) encontró que el valor de pi está entre 3 10/71 y 3 1/7. Él no sólo inscribió, sino también circunscribió polígonos regulares y fue duplicando el número de lados. No tenía a su disposición ni la trigonometría ni los números expresados en forma decimal. Sus cálculos comenzaron con el hexágono y llegó hasta el polígono, donde pi es el número original de lados, k el número de duplicaciones y a la mitad del ángulo subtendido por el lado del polígono. Arquímedes aproximó todas las raíces cuadradas con números racionales, teniendo el cuidado de tomar para nuestro sen (a/2k) un número ligeramente menor y para nuestra tan (a/2) un número ligeramente superior. Lo primero, para evitar excederse del área del círculo; lo segundo, para evitar un valor menor al área del círculo. Por ejemplo para 3 1/2 tomó 265/153, como aproximación. Así, por tan (a) tomó 153/265; ya para el polígono de 12 lados tuvo que aproximar la raíz cuadrada de 349450. La aproximación que encontró fue 4729/8. El polígono de 96 lados involucra la raíz cuadrada de un número de 10 cifras. El cálculo anterior es uno de los que, con certeza, se saben hechos por Arquímedes; sin embargo, una buena parte de su trabajo se ha perdido. En cuanto al cálculo del número pi, se tiene la idea que llegó aún más lejos, e incluso encontró la siguiente aproximación: 21 875/67441. A partir de ese momento, por cerca de 1.000 años, la mejor forma de obtener aproximaciones de pi consistió en aumentar el número de polígonos.
Área del círculo y
El valor de pi también aparece vinculado al área del círculo. La fórmula conocida es: .r2, pero ¿cómo se obtiene esta fórmula?
Es habitual que se explique a partir de inscribir y/o circunscribir polígonos regulares en un círculo, o recurrir de plano a una integral. Otro camino más simple, es tomar dos círculos de igual radio; dividir cada uno de ellos en n partes iguales, haciendo cortes uniformes a partir de sus centros (cual si fueran pasteles), y distribuir estas porciones como se indica en la siguiente figura:
Conforme se aumenta el valor de p, se acerca a una figura definida, en este caso, un rectángulo, cuya base es el perímetro del círculo (2.r.r), mientras que su altura es r. Luego, el área de tal rectángulo es 2..r2 pero tal rectángulo equivale a dos círculos, de esta manera llegamos a la fórmula. Se sabe que este camino se le ocurrió a Leonardo Da Vinci.
Con estos datos se ilustra cómo éste y otros valores llegaron a calcularse y a usarse en distintas épocas y diferentes culturas, como un claro ejemplo de que la humanidad no siempre ha perfeccionado su conocimiento y actitud, e incluso han existido varios momentos de retroceso.
